SPIT IN MARMOLADA!!!!!

[the_serpent2006]

1 INTRODUCTION

Let M ? R

n

be a manifold, let f : M _ R

n

be a differentiable function. We consider the continuous dynamical sys-
tem described by

.

x= f (x)
x(t0) = a
(1)
If (1) can not be solved by analytical methods, we can use
some numerical methods in order to approach the solu-
tion. There are some classical numerical methods (theEuler
method, the Runge-Kuttamethod of different orders)which
are used even in the most performed soft.
The discrete systems associated to (1) by Euler method
and by Runge-Kuttamethod of the second order are respec-
tively
(M, fE h (x))
(2)
and (M, fRKh (x))
(3)
where fEh

(x) = x+hf (x) and fRKh

(x) = x+_hf (x)+(1 _ _)hf x +h2(1__)

f(x)
The dynamics of (1) is governed by the presence of the
attractors: a simple attractor induce a simple dynamics and
a strange attractor is the signature of the complex, chaotic
behavior of the flow. Sometimes we can not study the con-
tinuoussystem (1)and than we studythe associated discrete
system. Now the problem is to know the correlations be-
tween the two dynamics, namely the connections between
the attractor of the continuous system and the attractor of
the discrete system.
We present here some considerations about this and also
some anomalies which can appear in the discretisation pro-
cess.

2 NUMERICS AND DYNAMICS

The presence of an equilibrium point of (1), respectively a
fixed point of (2) or (3) is very important in the dynamics of
the flow. The followingresults assure that the identification
of the fixed pointsof (2) or (3) guaranties the presence of an
equilibrium point of (1).
Lemma : x_ R n

is an equilibrium point of (1) if and
only if x is a fixed point of (2), respectively (3).
But the properties of the equilibrium are not always pre-
served:
Theorem 1: Let x be an equilibrium of (1).Then:
a) If x is a repelling point then it is a repellingfixed point
of (2) respectively (3) for any value of h.
b) x is attractor (or a node) if and onlyif x is an attracting
fixed point (ora node) of(2), respectively(3) forall enough
small values of h.
Theorem 2:Let x a fixed point of (2) respectively (3).
Then:
a) Ifx isa repellingpointthen xis a repellingequilibrium
of (1) or it is not hyperbolic.
b) if x is a node for all enough small values of h, then it
is a node of (1) or it is not hyperbolic.
This results show that if we know the properties of the
equilibrium x of (1) we can precise the properties of the
fixed point x of (2) or (3), but the converse is not true. the
following examples clarify this assertion.
Example 1:
For the system

.

x= y

.

y= _x
the equilibrium (0, 0) is not
hyperbolic because the characteristic exponents are ±i.It is
a center. The flow is stable but it is not asymptotically sta-
ble. The system is not structurallystable (because the equi-
librium is not hyperbolic).
For the discrete systems obtained by the Euler method
and by the Runge-Kutta method the fixed point (0, 0) is a
repelling point for any value of the discretisation step.

Only the Runge-Kutta method of the fourth order give a
good description of the center (0, 0).
An other classical method which gives a correct descrip-
tion of the system is the centered difference method.
Example 2: For the system

.

x= y + ax x

2

+ y

2
.

y= _x + ay x

2

+ y

2

the equilibrium (0, 0) is not hyperbolic. Using polar coor-
dinates x = r cos_, y = r sin_ we obtain the system

.

r= ar

3
.

_= _1
.
We can observe that:for a
0 , (0, 0) is an attractor, for
a = 0, (0, 0) is a center and for a
0, (0, 0) is a repelling
point.
If we proceed to the discretisation of the system by the
Runge-Kutta method of the second order we obtain a dis-
crete system whose characteristic exponents of (0, 0) have
theabsolutevaluegreaterthan1,so(0, 0)isa repellingpoint
for any positivevalue of thediscretisationstep. Anyone can
observe that the dynamics of the real system is deformed by
the discretisation process,when a ? 0.A more complicate
problem is that it is happening for any (small) discretisation
step, so, if we do not have an analytical control of the flow,
we can be wrong by the numerical results.
For the discrete system associate by the Euler method,
(0, 0) is also a repelling fixed point, but the system has also
an attracting limit circle, whose radius depends on a and
h.The real system has not such an orbit.
The Runge-Kuttamethodofthe fourthordergivesa faith-
ful description of the initial system.

3 THE OCCURRENCE OF THE CHAOS
DUE TO THE NUMERICAL METHODS

More complicated situations appear when the discrete sys-
tem associated to (1) has complex, chaotic behavior.
Usually we do not have the analytical control of the sys-
tem ant we trustthenumerical results,Whichcan be dramat-
ically different from the original ones. We shall see some
examples.
Example 3 Let consider the logistic system

.

x= kx(L _ x)
x(0) = x

0

. The flow _

t

(x

0

) has the prop-
erty that lim

t_?

_

t

(x

0

) = L, for any x

0

, so the system has a
simple dynamics.
Using the Euler method we obtain the discrete system
generated by F

a

(x) = ax(1 _ x), where a = 1 + Lkh.
This application is the signature of the chaos. For differ-
ent values of the parameter a (so for different values of the
discretisationstep h, thesystem has differentasymptoticbe-
havior:
-ifh _ 0,

2
Lk

then 0 is a repellingpointand x =

Lkh
1+Lkh

is an attractor In this case the dynamics of the two systems
are qualitatively the same.
-when the parameter a is increasing, it appears a chain of
doubling period of the global attracting orbit.

- for others values of h , as h =2.56994


Lk

or h =

3
Lk

the
system is chaotic
So , inorder to obtaina faithfuldescriptionof the system,
we must choose h ?

2
Lk

.
From the same equation, discretisated by the mixed dif-
ferences method, we obtaina discrete system which is topo-
logically conjugated with the Henon system. So for some
values of h this discrete system is chaotic and the original
system is not.
Let see thediscretisationeffect ona nonlinearcontrolsys-
tem with discontinuity.
Let consider the Van der Pol equation:

.

x= y

.

y= 2a_ 1 _ µx

2

yu _ _

2

x
(4)
If u = 1, (4) is a damped system in which the negative
damping occurs in the strip|x| <

1
?
µ

and positive damping
occurs for|x| >

1
?
µ

. The system has a stable limit cycle
denoted by C (x, y) = 0.
If u = _1, the system (4) has a reverse time and rotated
limit cycle which is unstable.
Let consider S =
(x, y)/s = x

2

+

y

2

_

2

_ r

2

= 0
with r
<

1
?
µ

as a switching manifold and
u(x) =
_1,s(x) > 0
1,s(x) < 0
the control law, the oscil-
lator approaches the sinusoidal response with the radius
r.Using the Runge-Kutta algorithm we obtain the discrete
system
x

n+1

= f

1

(x

n

,y

n

,h)
y

n+1

= f

2

(x

n

,y

n

,h)
The choice of the discretisation step h is very important
in order to obtain a control of the system.
The sampling period H is given by
H = sup{h > 0 / C(f

1

(x

n

,y

n

,h),
f

2

(x

n

,y

n

,h)) ? 0 and x

2
n

+

y

2
n

_

2

< r

2

}
If h < H the behavior of the flow is quasiperiodic and
the system trajectory zigzags along the switching manifold
indicating the existence of a pseudo sliding mode.
If h > H the trajectory is moving away from the switch-
ing circle towards infinity, indicating instability.
It is clear that the choice of the discretisation step is very
important in order to obtain a correct descriptionof the sys-
tem (4).

4 REFERENCES

[1] J.Hale, H.Koçac - Dynamics and Bifurcations , Springer Ver-
lag, 1991
[2] A.Ralston, P.Rabinowitz - A First Course in Numerical Anal-
ysis, Mc Graw-Hill,1978
[3] M.Crouzeix, A.Mignot - Analyse numerique des equations
differentielles,Ed.Masson,1989

Page 3

[4] Xinghuo Yu - Discretization Effect on a Dynamical Sys-
tem with Discontinuity, in Chaotic Numerics, AMS-
Contemporary Math, no.172

[as]

Perchè chiudi, Antonio?
Esempi? Del mondo, sarebbe facilissimo ( qualche sosta della via di Doseth o di quelle di Gullich-Albert sono a spit e forse con l'elicottero non ne esci nemmeno), la maggior parte di quelle che ha citato Matteo.
Che poi a dir la verità siamo fuori strada tutti e due, perchè più è una parete è verticale più l'elicottero non riesce a salvarti. Su caminando, al Wenden, che è pure una via secondo me con spit non troppo lontani, sono morte due persone per infortuni in seguito a cadute e soccorso troppo lento ( dissanguamento dell'infortunato), perchè hanno dovuto calarsi per centinaia di metri prima di raggiungere l'infortunato a metà parete. C'è anche questo da considerare, sai? Il cadere...su certe vie, si può cadere ma non si deve...ti trovi nella zona morta, troppo lontano per tornare indietro e troppo debole per andare avanti. Credimi, bastasse un maillon...
Ma siamo davvero fuori strada, lo siamo di più, in strada, con gli esempi di vie, perchè sia quelle che citi tu che quelle che ha citato matteo sono vie dove la tua definizione di incerto è valida all'ennesima potenza. Credimi, all'ennesima potenza. Non c'entra niente l'8a o il 6c, e tantomeno la via che citi di aver fatto, solo da quello che descrivi ti rispondo che c'entra con le vie citate da matteo come una ferrata sul Brenta con una via di roccia.
Comunque ormai siamo lontani dal topic, è allora meglio consegnarlo all'archivio. Ripeto che non sarebbe male trovarci sotto la marmolada l'anno prossimo e fare insieme due vie per renderci conto insieme.

Chiaro che in Patagonia non risulta facilissimo tornare anche a spit ma credo che in Patagonia sia difficile con il brutto tempo tornare anche se sei uscito dalla tenda per pisciare... (io nel dubbio cmq preferirei avere un bel trapano...)
Per il resto io non ho mai visto le vie citate da Matteo forse neanche lui le ha viste tutte e probabilmente neanche tu cmq adesso non pigliatemi per fesso se hai 300 400 metri di parete con le soste a spit piu o meno in linea non mi dire per piacere che ci vuole l'elicottero per tornare... perche senno dalle torri del trango o della gia citata Patagonia cosa ci vuole un F16...
E secondo non mi far apparire il ripetere quelle vie come si trattasse di alpinismo eroico con sangue morte certa etc... anche su sentiero del rientro ci sono stati un sacco di alpinisti forti e famosi che ci hanno lasciato le penne, in piu Bonatti ripensando al freney potrebbe aversene a male...
Per la Marmolada io passo conoscendo il tipo di vie che avrai intenzione di ripetere non ho il livello ne la motivazione di ripetere vie che tanto ho criticato...
Pero Magari se un miracolo mi facesse tornare l'entusismo di un tempo un giro in valle San Lucano guardando a dx le pale o a sx l'agner non fa differenza... non sarebbe una cattiva idea forse rivedresti un po il tuo modo di pensare... Io ti Aspetto...

P.S. Per il nome della via non mi fa molto piacere che il senso di una mia frase sia completamente stravolto e usato per nominare quello che io cerco di combattere... cmq le frasi appena uscite dalla bocca di una persona appartengono a tutti quindi fanne cio che vuoi vorra dire che la prox via che apriro semmai succedera si chiamera:E non lo vogliono capire... e Non lo capiranno mai!
Ciao a tutti!
Antonio

[Mago del gelato]

Ma perchè un certo tipo di etica deve condizionare un'intera parete o una montagna? Non sarebbe tutto molto più libero se condizionasse solo le singole vie (con il rispetto di quelle già aperte)? Non mi sembrerebbe uno scempio se sulla stessa parete convivessero vie aperte con etica diversa, cosa che peraltro sulla sud della Marmolada già accade da molti anni. Le schiodature penso siano legittimate solo nel caso in cui una via nuova interferisca con una già tracciata modificandone il carattere. Voler mantenere un certo "regime" su un'intera montagna mi sembra un atto di egoismo e presunzione.

[Enzolino]

Io non so che vie completamente a spit tu abbia fatto per affermare che hanno richiesto un impegno psicofisico maggiore di vie in montagna ma forse se ti capitasse di tornare da qualche via poco o pochissimo ripetuta in agner magari con il brutto forse rispingeresti i 500 metri di 7a con gli spit alle soste...
Per PF e chiudo mi fai un esempio di una via con soste a spit in cui serve l'elicottero per tornare?
Sono veramente sempre gli stessi discorsi mi rendo conto che c'e' un rapporto di proporzionalita inversa tra il numero dei miei post e le uscite in montagna negli ultimi paio di anni quindi mi defilo sperando che la tendenza si inverta...
Ciao a tutti
Antonio

Anche a me e' capitato di fare vie a spit senza storia, ma ad esempio, la scorsa domenica sono andato a fare una via al Klausenpass (a sinistra di Nirvana, senza nome, perche' non e' stata pubblicata e, ahime', non e' neanche finita) con due tiri di roccia marcissima ed altri in cui una caduta nei runout lunghi poteva portare a conseguenze spiacevoli (rottura certa di qualche osso). L'ho guardata bene, perche' ho sempre la mentalita' dell'apritore tradizionale. Nei primi cento metri non c'era fessura o buco proteggibile e dopo, dove c'erano, dovevamo usare i friend per stare meglio psicologicamente ed evitare pericolosi incidenti.
Al contrario, vie classicissime come la Schubert o la Micheluzzi al Ciavacez, pur se fatte in inverno, mi son sembrate ben piu' plaisir e scontate, seppur bellissime, di vie fatte al Klausen o al Blockmattli (in Svizzera).
Quindi direi che il tuo discorso, a me non quadra.
Sulle vie che mi suggerisci, prendo nota, perche' le vie mito e classicissime, per quanto mi riguarda, stanno perdendo molto dell'avventura e sono troppo trafficate.

Ciao

Lorenzo

[Enzolino]

Ma perchè un certo tipo di etica deve condizionare un'intera parete o una montagna? Non sarebbe tutto molto più libero se condizionasse solo le singole vie (con il rispetto di quelle già aperte)? Non mi sembrerebbe uno scempio se sulla stessa parete convivessero vie aperte con etica diversa, cosa che peraltro sulla sud della Marmolada già accade da molti anni. Le schiodature penso siano legittimate solo nel caso in cui una via nuova interferisca con una già tracciata modificandone il carattere. Voler mantenere un certo "regime" su un'intera montagna mi sembra un atto di egoismo e presunzione.

Mi fai venire in mente il trattato dei Tatra, o le aree clean in Sardegna in cui alpinisti e climbers si dividono aree in cui concentrare i propri sforzi in diverse direzioni. Spit, trad, clean, dall'alto o dal basso.

Aprire una via impegnativa ed ingaggiosa richiede preparazione, concentrazione e soprattutto tempo. Solo quando i tempi diventano relativamente maturi una via puo' essere fatto nel modo "storicamente" accettabile.
Che storia avrebbe potuto avere il Pesce se fosse stata aperta dall'alto col trapano o il piantaspit, 50 o 60 anni fa?
E' molto piu' facile calarsi e spittare dall'alto, ad esempio, ma cosi' facendo, si ruba spazio al terreno d'avventura.
Senza regole diventerebbe facile cadere nell'omologazione ed, in breve, si troverebbero spit ovunque.
Allora un'etica diventa necessaria per cui ci son pareti che e' meglio scalare in un modo ed altre pareti che e' meglio scalare in un'altro stile. Ed alla fine son tutti piu' felici e contenti ...

[Mago del gelato]

Ma perchè un certo tipo di etica deve condizionare un'intera parete o una montagna? Non sarebbe tutto molto più libero se condizionasse solo le singole vie (con il rispetto di quelle già aperte)? Non mi sembrerebbe uno scempio se sulla stessa parete convivessero vie aperte con etica diversa, cosa che peraltro sulla sud della Marmolada già accade da molti anni. Le schiodature penso siano legittimate solo nel caso in cui una via nuova interferisca con una già tracciata modificandone il carattere. Voler mantenere un certo "regime" su un'intera montagna mi sembra un atto di egoismo e presunzione.

Mi fai venire in mente il trattato dei Tatra, o le aree clean in Sardegna in cui alpinisti e climbers si dividono aree in cui concentrare i propri sforzi in diverse direzioni. Spit, trad, clean, dall'alto o dal basso.

Aprire una via impegnativa ed ingaggiosa richiede preparazione, concentrazione e soprattutto tempo. Solo quando i tempi diventano relativamente maturi una via puo' essere fatto nel modo "storicamente" accettabile.
Che storia avrebbe potuto avere il Pesce se fosse stata aperta dall'alto col trapano o il piantaspit, 50 o 60 anni fa?
E' molto piu' facile calarsi e spittare dall'alto, ad esempio, ma cosi' facendo, si ruba spazio al terreno d'avventura.
Senza regole diventerebbe facile cadere nell'omologazione ed, in breve, si troverebbero spit ovunque.
Allora un'etica diventa necessaria per cui ci son pareti che e' meglio scalare in un modo ed altre pareti che e' meglio scalare in un'altro stile. Ed alla fine son tutti piu' felici e contenti ...

Bè ma questo discorso può essere fatto per ogni via su cui viene lasciato materiale in parete, il 90% delle vie tracciate, anche negli anni 30 ad esempio hanno tolto spazio alle generazioni seguenti, ma sono le regole del gioco, è ovvio che una via, una volta aperta, non puo essere aperta 2 volte, ed è spazio tolto all'avventura delle generzioni future. Allora bisognerebbe lasciare la roccia perfettamente pulita, e non scrivere nemmeno la relazione. Chi non arrampica così per me non puo permettersi di criticare chi toglie spazio agli altri.

[Enzolino]

Bè ma questo discorso può essere fatto per ogni via su cui viene lasciato materiale in parete, il 90% delle vie tracciate, anche negli anni 30 ad esempio hanno tolto spazio alle generazioni seguenti, ma sono le regole del gioco, è ovvio che una via, una volta aperta, non puo essere aperta 2 volte, ed è spazio tolto all'avventura delle generzioni future. Allora bisognerebbe lasciare la roccia perfettamente pulita, e non scrivere nemmeno la relazione. Chi non arrampica così per me non puo permettersi di criticare chi toglie spazio agli altri.

Ma infatti questo discorso non va fatto ovunque e non va assolutizzato, ma contestualizzato.
Nessuno ha detto niente o al massimo ha storto il naso quando un certo Lecis ha spittato numerose vie in Sardegna dall'alto e non mi risulta che gli spit siano stati tolti. Ma la storia dell'arrmpicata in Sardegna e' diversa da quella delle Dolomiti e della Marmolada, per cui se uno va a fare la stessa cosa la', ovviamente c'e' chi si incazza!
C'e' una differenza tra molte vie aperte negli anni trenta e quelle aperte con gli spit oggi, che questi ultimi lasciano una traccia indelebile, mentre se togli un chiodo, grosso modo una via cambia poco.

Quindi credo che bisogna rispettare gli spazi ed i rispettivi terreni di gioco con le loro regole, se si vuole superare il conflitto tra i diversi "giocatori", altrimenti le vicende come quella in Marmolada son destinate a ripetersi.

Ciao

L

[Mago del gelato]

Bè ma questo discorso può essere fatto per ogni via su cui viene lasciato materiale in parete, il 90% delle vie tracciate, anche negli anni 30 ad esempio hanno tolto spazio alle generazioni seguenti, ma sono le regole del gioco, è ovvio che una via, una volta aperta, non puo essere aperta 2 volte, ed è spazio tolto all'avventura delle generzioni future. Allora bisognerebbe lasciare la roccia perfettamente pulita, e non scrivere nemmeno la relazione. Chi non arrampica così per me non puo permettersi di criticare chi toglie spazio agli altri.

Ma infatti questo discorso non va fatto ovunque e non va assolutizzato, ma contestualizzato.
Nessuno ha detto niente o al massimo ha storto il naso quando un certo Lecis ha spittato numerose vie in Sardegna dall'alto e non mi risulta che gli spit siano stati tolti. Ma la storia dell'arrmpicata in Sardegna e' diversa da quella delle Dolomiti e della Marmolada, per cui se uno va a fare la stessa cosa la', ovviamente c'e' chi si incazza!
C'e' una differenza tra molte vie aperte negli anni trenta e quelle aperte con gli spit oggi, che questi ultimi lasciano una traccia indelebile, mentre se togli un chiodo, grosso modo una via cambia poco.

Quindi credo che bisogna rispettare gli spazi ed i rispettivi terreni di gioco con le loro regole, se si vuole superare il conflitto tra i diversi "giocatori", altrimenti le vicende come quella in Marmolada son destinate a ripetersi.

Ciao

L

Devo dire che nonostante non la pensi esattamente come te apprezzo la tua disponibilità al dialogo e apertura mentale, certi personaggi di questo forum mi avrebbero già mandato a quel paese, bravo Enzolino

[Enzolino]

Devo dire che nonostante non la pensi esattamente come te apprezzo la tua disponibilità al dialogo e apertura mentale, certi personaggi di questo forum mi avrebbero già mandato a quel paese, bravo Enzolino

Grassie ...

[Mago del gelato]

Comunque volendo fare i pignoli un buco di spit cementeto non deturpa la roccia più di un chiodo che distrugge i bordi di una fessura...

[Enzolino]

Comunque volendo fare i pignoli un buco di spit cementeto non deturpa la roccia più di un chiodo che distrugge i bordi di una fessura...

Hai ragione. Infatti il discorso ecologico e' una cazzata (relativamente, nel senso che le vie ben attrezzate attirano piu' gente). Il discorso secondo me e' fondamentalmente etico.
Anzi! Talvolta lo spit inox e' piu' ecologico del chiodo!

[Mago del gelato]

Comunque volendo fare i pignoli un buco di spit cementeto non deturpa la roccia più di un chiodo che distrugge i bordi di una fessura...

Hai ragione. Infatti il discorso ecologico e' una cazzata (relativamente, nel senso che le vie ben attrezzate attirano piu' gente). Il discorso secondo me e' fondamentalmente etico.
Anzi! Talvolta lo spit inox e' piu' ecologico del chiodo!

Certo, capisco. Del resto, anche se ne avessi le capacità, e non penso di averle, non mi sognerei di aprire una via sistematicamente a spit sulla sud. Ma non penso nemmeno che andrei a schiodare una via aperta da un altro.

[Matteo G.]

Su caminando, al Wenden, che è pure una via secondo me con spit non troppo lontani, sono morte due persone per infortuni in seguito a cadute e soccorso troppo lento ( dissanguamento dell'infortunato), perchè hanno dovuto calarsi per centinaia di metri prima di raggiungere l'infortunato a metà parete.

Mecojons

Emmenomale che non me l'hai detto la sera prima...

Domenica al rientro vi abbiamo visti col binocolo, appesi come salami sul Mahren, sembra bello... ma la via si chiamerà *Gli scassinatori*???

Ciao

[Mago del gelato]

Che bella notizia!

http://www.planetmountain.com/News/shownews.lasso?l=1&keyid=35265

[Paolo Marchiori]

Che bella notizia!

http://www.planetmountain.com/News/shownews.lasso?l=1&keyid=35265

my cojons...bravi! Altra via sulla quale farsi seghe mentali...

[Enzolino]

Che bella notizia!

http://www.planetmountain.com/News/shownews.lasso?l=1&keyid=35265

my cojons...bravi! Altra via sulla quale farsi seghe mentali...

Eh no c***o! Troppo facile!!!

Adesso bisogna controllare minuziosamente che abbia fatto tutto in regola e senza trucchi!!!

[Paolo Marchiori]

Che bella notizia!

http://www.planetmountain.com/News/shownews.lasso?l=1&keyid=35265

my cojons...bravi! Altra via sulla quale farsi seghe mentali...

Eh no c***o! Troppo facile!!!

Adesso bisogna controllare minuziosamente che abbia fatto tutto in regola e senza trucchi!!!

ok, fatta, mi ci porti?

[Enzolino]

ok, fatta, mi ci porti?

Ehm ... in questo periodo sono impegnato ...
Chiedi a pf, Rock Bandit, Cialtrone o Quilodico (pero' ricordati il martello!) ... Grimpeur no, che senno' aggiunge gli spit ...

[cuorpiccino]

Aò, ma è na cazzata, a vedè i gradi ce portamo pure novesaltiinpadella

[Enzolino]

Aò, ma è na cazzata, a vedè i gradi ce portamo pure novesaltiinpadella

Non sottovalutare ... bisogna farla con la roccia bagnata, com'e' di rito in montagna.

Magari per la prima ripetizione possiamo chiedere a Quilodico di fare una pisciatina dall'alto per rendere le cose piu' alpinistiche ...