[Quiz] Pomodori e altre amenità

[Falco5x]

E se poi la pulzella decidesse di farsi prendere per farsi dare il cartoncino "Uscite gratis di prigione"?

Questo è ciò a cui il Berlu sta puntando da tempo (per sé, non per la pulzella).

[Sbob]

E se poi la pulzella decidesse di farsi prendere per farsi dare il cartoncino "Uscite gratis di prigione"?

Questo è ciò a cui il Berlu sta puntando da tempo (per sé, non per la pulzella).

Direi che dispone gia' di un intero mazzo di cartoncini, e ha pensato di applicare quanto scritto sullo stesso: potete conservare questo cartoncino sino al momento di servirvene (non si sa mai!) oppure venderlo.

Il cartoncino non specifica in cambio di cosa...

[kala]

quante cagate state sparando?
segmentini?

INGEGNERI!!!!!


1. dal centro fino ad un raggio critico la velocità angolare della ragazza può essere maggiore di quella del Falco; ne consegue che la strategia migliore che la ragazza può adottare è quella di stare agli antipodi del Falco: ovvio che, essendo più veloce, può cambiar direzione angolare ma non le conviene perché andrebbe a riavvicinarsi al Falco; del resto il Falco non avrebbe interessa a cambiar egli stesso direzione perché la ragazza fuggirebbe tranquillamente dalla parte opposta mantenendosi sempre FERMA dal punto di vista angolare e muovendosi solo in "profondità" (ce la fate a vedere il piano con le coordinate angolari o devo farvi un disegnino?)

2. all'altezza del raggio critico le velocità angolari si equivalgono: fuggire lungo la circonferenza sarebbe come due che si inseguono attorno ad una tavola rotonda avendo la stessa velocità; il raggio critico è ovviamente determinato dal rapporto tra le velocità del Falco e della pulzella: r=R/(vf/vp), con R raggio vasca e vf e vp le due velocità

3. il tempo impiegato finora è ininfluente: la ragazza può quando vuole ottimizzare la sua nuotata e minimizzare il tempo, in ogni caso la situazione finale sarà che si trova agli antipodi rispetto al Falco

4. dal raggio critico fino al bordo vasca, infine, si risolve la differenza di velocità: il Falco deve percorrere PI*R, la ragazza solo R-r ma con velocità inferiore in proporzione a vp/vf: è come se alla velocità del Falco dovesse percorrere (R-r)(vf/vp) che, in considerazione della definizione di r, diventa R(vf/vp-1); la ragazza arriva dunque prima se vf/vp-1>PI, cioè il rapporto tra le due velocità è inferiore a PI+1 (ca = 4.14159)

Naturalmente ingegneri rozzi come voi non prendono neanche in considerazione il fatto che la ragazza deve perder tempo a tirarsi a riva, che sarà tutta bagnata e che il Falco ha dopotutto uno svantaggio irrisorio su di lei se la vasca è molto piccola.

No!, anzi, vi chiedete se al posto di una retta nell'ultimo tratto potrebbe saltellare qua e là pescando ninfee!!!

[kala]

Facendo un paio di conti in effetti parrebbe più conveniente una traiettoria retta non lungo il raggio. La soluzione generica è:

sqr((s-1)^2+4*s*sin(a/2)^2)/s < PI+a

dove
s è il rapporto vp/vf
a è l'angolo tra il raggio della traiettoria più breve e quello della traiettoria nuova (espresso in radianti)

[Falco5x]

Naturalmente ingegneri rozzi come voi non prendono neanche in considerazione il fatto che la ragazza deve perder tempo a tirarsi a riva, che sarà tutta bagnata e che il Falco ha dopotutto uno svantaggio irrisorio su di lei se la vasca è molto piccola

E inoltre questi pivelli trascurano il fondamentale dettaglio che l'attrezzo che il Falco utilizzerà per agganciare la pulzella ha dimensione finita ben superiore a ogni prevedibile misura, per cui il successo del Falco è scontato in ogni caso.

[Falco5x]

Questa pioggia insistente mi distrugge.
Pertanto beccatevi questi:

a) Dire con quanti zeri consecutivi termina il numero ottenuto moltiplicando fra loro i primi 133 numeri naturali

b) Determinare nel modo più elementare possibile quale dei due numeri:
140^100 e 100^120
sia maggiore dell?altro

[Sbob]

a) Dire con quanti zeri consecutivi termina il numero ottenuto moltiplicando fra loro i primi 133 numeri naturali

1, infatti il primo numero naturale e' 0, quind 0 * 1 *... = 0

[Sbob]

Se invece intendevi i numeri da 1 a 133, per risolvere si puo' considerare che, tra i numeri da 1 a 133:

26 sono divisibili per 25
5 sono divisibili anche per 5^2
1 e' divisibile anche per 5^3

Quindi il risultato avra' il fattore 5 elevato a 26+5+1 = 32
Il fattore 2 sara' elevato a molto di piu' essendo molto piu' frequenti i numeri divisibili per 2.

Quindi il risultato ha 32 zeri.

[Falco5x]

Risposta esemplare. (volevi dire 26 sono divisibili per 5...)

[Sbob]

b) Determinare nel modo più elementare possibile quale dei due numeri:
140^100 e 100^120
sia maggiore dell?altro

Supponiamo che 140^100 < 100^120.

Cominciamo a semplificare un po'. Se a>b, allora a^(1/n) < b^(1/n), quindi il problema si riconduce a
140 ^ 5 < 100 ^ 6

Scomponiamo in fattori primi:
7^5 * 5^5 * 2^10 < 2^12 * 5^12

E dividiamo per i fattori comuni:
7^5 < 2^2 * 5^7


Questa affermazione e' vera se:
7^3 < 5^5
Infatti ho diviso il primo membro per un valore minore del secondo (7^2 vs. 10^2).

Le potenze di 5 che ricordo a memoria sono 5, 25, 125, 625. 5^5 non me lo ricordo, pero' sicuramente ha 4 cifre, mentre sicuramente 7^3 ha al piu' 3 cifre, quindi 7^3 < 5^5.
La supposizione iniziale e' quindi dimostrata.

[kala]

Le potenze di 5 che ricordo a memoria sono 5, 25, 125, 625. 5^5 non me lo ricordo

siamo stupefatti dalla tua prodigiosa memoria

ma fare 625*5 no? ci mettevi meno che scriver la frase...

[Falco5x]

Ok.
Io però l'avevo risolto pensando ai logaritmi e avevo fatto molto prima.

[Falco5x]

E adesso una discussione un po' più teorica.

Supponiamo di avere un'urna nella quale ci sono un certo numero n di palline, di cui b sono bianche.
Facendo due estrazioni successive di 1 pallina, sia P la probabilità che entrambe le palline estratte siano bianche.
Domanda: ma se invece di estrarre la seconda pallina dopo aver già estratto e visto la prima si estraessero contemporaneamente 2 palline con la stessa mano, la probabilità che entrambe fossero bianche sarebbe sempre uguale a P oppure sarebbe diversa?

Forse la domanda può apparire bislacca, però... proviamo a dimostrarlo.


(N.B. di questi esercizi che propongo non possiedo le soluzioni, cerco di risolverli prima io per cui di queste soluzioni non sono sempre così certo)

[kala]

Certo, e ti consiglio anche di provare a estrarre le due palline con due mani diverse e bendato...

Spiacente Falco ma questa *é* una cagata.

[Falco5x]

Certo, e ti consiglio anche di provare a estrarre le due palline con due mani diverse e bendato...

Spiacente Falco ma questa *é* una cagata.

Forse lo è, però...

Nel primo caso la probabilità che la prima sia bianca è b/n, mentre la probabilità che la seconda sia bianca è (b-1)/(n-1).

Nel secondo caso le due palline sono nella medesima identica condizione, dunque il problema non può essere sezionato con un prima e un dopo, e le due palline bianche non possono avere probabilità tra loro diverse.

In questo senso penso serva una dimostrazione che dimostri l'equivalenza dei due casi (come del resto si intuisce debba sussistere). Può essere una sottigliezza, però... prima di liquidare la questione in modo così "tranchant" (quasi da ingegnere, ardisco accostare) io un momento in più ci penserei.

[kala]

ok
mentre ci penso tu scrivi qualcosa
qualcosa di montagna, intendo
ah, con carta e penna , almeno tu che puoi staccarti dal PC

[Falco5x]

ok
mentre ci penso tu scrivi qualcosa
qualcosa di montagna, intendo
ah, con carta e penna , almeno tu che puoi staccarti dal PC

Penna? ma io non scrivo più a penna da almeno vent'anni!

[Falco5x]

Per completare il discorso dell'urna e delle palline voglio adesso spiegare meglio, conti alla mano, il mio modo di vedere sulla faccenda.

Quando le 2 palline vengono estratte in sequenza, la probabilità congiunta che esca una prima pallina bianca e una seconda pallina bianca è data dal prodotto delle probabilità.
La probabilità che esca la prima pallina bianca è data dal rapporto tra i casi favorevoli (che alla prima estrazione sono b) e i casi possibili (che alla prima estrazione sono n), cioè b/n. Alla seconda estrazione, poiché il niumero di palline si è ridotto di 1 il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili è (b-1)/(n-1). Facendo il prodotto, la probabilità congiunta risulta P=b/n*(b-1)/(n-1)=(b(b-1))/(n(n-1)).

Quando invece si estrae contemporaneamente una coppia di palline, il caso elementare non è più l'estrazione di una pallina, bensì l'estrazione di una coppia. Siccome le palline bianche sono b, le possibili coppie di palline bianche sono (b-1)+(b-2)+...+2+1, ovvero ricordando la formula dei numeri triangolari (b-1)b/2. Questo è dunque il numero dei casi favorevoli. Analogamente i casi (ovvero le coppie) possibili sono (n-1)n/2.
Facendo il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili si ottiene la probabilità della coppia di pallina bianche, ovvero ancora P=((b-1)b)/((n-1)n).

Nei due casi la probabilità risulta essere la stessa, come era intuibile dovesse risultare, però a mio parere si tratta di due problemi concettualmente distinti che vanno approcciati in modo diverso. E che danno il medesimo risultato, dando così ragione anche all'intuizione.